Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah. Berikut merupakan contoh vektor.
Vektor biasanya diberi nama menggunakan huruf kecil (misal a) atau titik-titik yang menghubungkannya (misal PQ).
Gambar 1. Vektor AB
Pada gambar tersebut terdapat transformasi titik A dengan vektor u hasilnya adalah titik B, dengan pengertian yang sama vektor u merupakan garis berarah dari titik A ke titik B.
Vektor pada gambar tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut.
Vektor AB tersebut memiiki pangkal vektor yang terletak pada titik A dan ujung vektor yang terletak pada titik B. Berkaitan dengan kesamaan dua vektor, dua vektor dapat dikatakan sebagai vektor yang sama jika nilai (panjang vektor) dan arahnya sama.
Misal terdapat suatu vektor
panjang vektor u dapat dihitung dengan
Keterangan:
Setelah menmahami mengenai vektor, berikut beberapa contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari.
Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari
Konsep vektor dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Vektor memiliki peranan yang sangat penting dalam bidang fisika dan teknik.
Selain itu, vektor juga berperan dalam bidang komputer, khususnya pada desain grafis.
Operasi Perkalian Vektor
Terdapat beberapa jenis perkalian dalam vektor. Terdapat perkalian skalar dengan vektor dan perkalian vektor dengan vektor. Perkalian skalar dengan vektor dapat kalian lihat pada bagian berikut ini.
Perkalian Skalar dengan Vektor
Apa itu skalar?
Nah, skalar merupakan suatu nilai yang tidak memiliki arah.
Misalkan terdapat suatu skalar k dan vektor u. Perkalian skalar dan vektor tersebut dapat dituliskan dengan ku.
Berikut merupakan beberapa macam hasil perkalian skalar k dan vektor u.
Perkalian ku
Jika k > 0, maka vektor hasil searah dengan vektor u.
Jika k < 0, maka vektor hasil berlawanan arah dengan vektor u.
Jika k = 1, maka vektor hasil sama dengan vektor u.
Jika k = 0, maka menghasilkan vektor nol.
Setelah membahas mengenai perkalian skalar dengan vektor, selanjutkan akan dijelaskan mengenai perkalian vektor dengan vektor.
Perkalian Vektor dengan Vektor
Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).
Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik didefinisikan sebagai skalar sebagai hasil dari perkalian dua vektor dengan cosinus sudut apit kedua vektor tersebut. Misalkan terdapat 2 vektor u dan v.
Gambar 2. Perkalian titik (dot product)
Perkalian titik juga dapat diartikan sebagai perkalian vektor u dengan komponen vektor v yang searah dengan vektor u.
Dari definisi tersebut dapat dituliskan rumus perkalian titik (dot product) yaitu sebagai berikut.
Atau dengan menggunakan konsep perkalian tiap elemennya. Misalkan terdapat dua vektor dan perkalian titik dapat dihitung dengan:
Keterangan:
Selanjutnya akan dibahas mengenai perkalian silang (cross product).
Perkalian Silang (Cross Product)
Untuk menentukan hasil perkalian silang dua vektor dapat dengan menerapkan rumus berikut. Misalkan, terdapat dua vektor dalam ruang tiga dimensi yaitu u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3). Hasil perkalian silang (cross product) dua vektor tersebut dituliskan sebagai
Atau dapat juga dengan menggunakan metode determinan yaitu sebagai berikut.
Keterangan:
u : vektor u
v : vektor v
u1, u2, u3 : elemen-elemen vektor u
v1, v2, v3 : elemen-elemen vektor v
Selanjutnya kita akan membahas mengenai proyeksi vektor. Simak penjelasan berikut.
Proyeksi Vektor
Perhatikan gambar proyeksi vektor berikut.
Gambar 3. Proyeksi Vektor
Terdapat dua vektor yaitu vektor u dan vektor v. Gambar di atas merupakan gambar proveksi vektor v pada vektor u. Proyeksi vektor v pada vektor u adalah
Untuk lebih memahami mengenai materi vektor, mari berlatih soal mengenai vektor di bawah ini.
Contoh Soal Vektor
Berikut ini soal dan pembahasan vektor dalam bidang matematika.
1. Diberikan 3 buah vektor:
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat mengkali nilai skalar dengan vektornya. Namun, kita harus menulis bentuk vektor sederhana dari setiap vektor.
Bentuk sederhana dan perkaliannya dapat di lihat pada penyelesaian di bawah ini.
2. Diketahui vektor-vektor berikut:
Pembahasan
Untuk mencari nilai 3a + 4b – 2c, kita perlu mencari nilai m. Pada soal, dijelaskan bahwa a ⊥ b yang berarti kedua vektor tersebut tegak lurus.
Kita dapat menuliskan bentuk vektor tidak lurus seperti di bawah ini.
3. Diketahui vektor-vektor
Tentukan panjang proyeksi vektor skalar
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal di atas, kamu harus menghitung nilai dari 6u + 4v kemudian di proyeksikan terhadap vektor v Misalkan 6u + 4v = y, maka persamaan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y = 6u + 4v
y = 6(2,-1,3) + 4(-3,2,6)
y = (12,-6,18) + (-12, 8, 24)
y = (0, 2, 42)
Berdasarkan hasil operasi hitung, panjang proyeksi adalah 36,57
4. Terdapat dua vektor yaitu:
Jika m diproyeksikan pada n dan memiliki panjang 2. Maka tentukan nilai n pada vektor n!
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat menggunakan rumus panjang proyeksi vektor m pada n seperti di bawah ini.
5. Sebuah segitiga terbentuk dari 3 vektor .
Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis XY dan XZ!!
Pembahasan
Hal yang pertama yang harus kita lakukan adalah menghitung vektor garis XY dan XZ. Untuk mencari vektor garis XY dan XZ, kita dapat menuliskannya seperti di bawah ini.
Setelah mengetahui vektor masing-masing, langkah kedua adalah mencari sudut yang terbentuk di antara dua garis vektor tersebut.
Untuk mencari besaran sudut dapat menggunakan persamaan vektor seperti di bawah.
Sudut yang terbentuk antara garis XY dan XZ adalah 90o
6. Misalkan terdapat dua vektor u = (2, 1, 2) dan v = (4, -1, 3). Tentukan:
Panjang vektor u dan vektor v.
Hasil kali titik (dot product) kedua vektor tersebut (u . v).
Hasil kali silang (cross product) kedua vektor tersebut (u × v).
Proyeksi vektor u pada vektor v.
Pembahasan
1. Panjang vektor u dan vektor v.
2. Hasil kali titik kedua vektor
u . v = (2)(4) + (1)(-1) + (2)(3) = 8 -1 + 6 = 13
3. Hasil kali silang kedua vektor
u = (2, 1, 2) dan v = (4, -1, 3)
u × v = (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
u × v = ((1)(3) – (2)(-1), (2)(4) – (2)(3), (2)(-1) – (1)(4))
u × v = (5, 2, -6)
4. Proyeksi vektor u pada vektor v.
Kesimpulan
Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah.
Misalkan terdapat dua vektor , maka:
Panjang vektor u adalah .
Jika terdapat suatu skalar k, perkalian skalar dengan vektor u adalah ku.
Hasil kali titik (dot product) dua vektor tersebut adalah
Hasil kali silang (cross product) dua vektor tersebut adalah
atau
Proyeksi vektor v pada vektor u didefiniskan sebagai
vektor adalah suatu besaran. Dalam Fisika, kita mengenal dua jenis besaran, yaitu besaran skalar dan vektor. Bedanya, besaran skalar hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor memiliki nilai dan juga arah . Contoh besaran vektor, antara lain perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet, dan masih banyak lagi. Coba deh kamu perhatikan ilustrasi gambar berikut ini. Ratu berjalan dari arah barat ke timur (titik AB) sejauh 10 m. Lalu, ia berbalik arah menuju barat lagi (titik BA) sejauh 10 m. Dari sini, kita bisa tahu kalau jarak yang ditempuh Ratu adalah AB + BA = 10 m + 10 m = 20 m. Kemudian, kita lihat besar perpindahannya. Perpindahan dapat diukur dari posisi awal ke posisi akhir. Saat Ratu berbalik arah dan berjalan sejauh 10 m, posisi akhir Ratu ada di titik awal, yaitu titik A. Nah , karena posisi awal Ratu sama dengan posisi akhirnya. Maka, Ratu tidak mengalami perpindahan (perpindahannya nol). Jarak adalah ...
nama; ANGGUN INDAH SARI DARMAYANTI kelas; X MIPA 3 noabsen; 9 hari/tanggal; RABU,26 AGUSTUS 2020 Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya : Bunga Tunggal Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode. Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu. Jika modal awal sebesar M_...
Komentar
Posting Komentar