Pertidaksamaan Logaritma dan sifat-sifatnya bersama contoh soal dan penyelesaiannya

Pertidaksamaan Logaritma Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu: Saat a > 1 Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x) Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0 Saat 0 < a < 1 Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0 Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x) Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan: ^2\log(2x + 1) < ^2\log 3 Berubah bentuk menjadi: 2x + 1 2x < 2 x < 1 Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga: 0 < (2x+1) < 3 -1 < (2x) < 2 -\frac{1}{2} < x < 1 Garis bilangannya adalah: contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari: (2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1 Diubah menjadi: (2 \log x - 1)(\log x) > 1 2 \log^2 x - \log x - 1 > 0 Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi: 2y^2 - y - 1 > 0 (2y + 1)(y - 1) Akar-akarnya adalah : y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1 Maka nilai x adalah: y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x x_2 = 10 Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah: pertidaksamaan logaritma Penyelesaiannya adalah: 0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10 Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat: Jika \mid x \mid < a dengan a > 0, maka -a < x < a Jika \mid x \mid > a dengan a > 0, maka x < -a atau x > a Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh: \mid ^3\log (x+1)\mid < 2 Berdasarkan sifat \bar x \bar < a, maka: -2 < ^3\log(x+1) < 2 ^3\log(\frac{1}{9}) < ^3\log(x+1) < ^3\log(x+1) < ^3\log 9 \frac{1}{9} < x + 1 < 9 -\frac{8}{9} < x < 8 Contoh Soal : Pertidaksamaan Logaritma Penyelesaian pertidaksamaan 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 adalah Pembahasan 3: 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 \log(x+1)^2 \le\log 4(x+4) (x+1)^2 \le 4(x+4) x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16 x^2 - 2x - 15 \le 0 (x - 5)(x + 3) \le 0 Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya: -3 \le x \le 5 Namun ada syarat yaitu: (x + 1)^2 > 0 x < -1 atau x < -1 Garis bilangannya adalah: pembahasan pertidaksamaan Maka penyelesaiannya adalah: -1 < x \le 5