SOAL PILIHAN GANDA DAN PENYELESAIAN UNTUK PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Nama : ANGGUN INDAH SARI DARMAYANTI

Kelas : X MIPA 3

Absen:9

1.  Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...

A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  -  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  -  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  -  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4^x - 7.2^x + 2 > 0 adalah ...
A.   x < -1  atau x > ²log 3
B.   x < ²log 1/3  atau  x > 1
C.   ²log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > ²log 1/3
E.   1 < x < ²log 1/3

Pembahasan :
3.4^x  -  7.2^x  +  2  >  0
3(2^x)²  -  7(2^x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2^x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y² - 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y²  - 7y + 2 = 0
(3y - 1)(y - 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2^x, maka
2^x < 1/3             atau  2^x > 2
$2^x$ < $2^{{}^{2}log1/3}$  atau  2^x > 2¹
x < ²log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < ²log 1/3  atau  x > 1

Jawaban : B

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0, x ∈ R adalah ….

A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

Pembahasan

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 3^2x+1 menjadi 3^2x ∙ 3¹.

   3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0
3^2x ∙ 3¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0

Misalkan p = 3^x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p² − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3^x < 3⁻¹   atau   3^x > 3²
  x < −1    atau     x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

4. Himpunan penyelesaian dari 9^x − 54 > 3^x+1 adalah ….

A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R}
C.   {x│x > 4, x ∈ R}
D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

Pembahasan

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9^x − 3^x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus a^m+n = a^m ∙ aⁿ.

9^x − 3^x . 3¹ − 54 > 0

Misalkan p = 3^x sehingga 9^x = p².

 p² − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

 p < −6   atau    p > 9
3^x < −6   atau   3^x > 9

Penyelesaian 3^x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3^x > 9.

3^x > 9
3^x > 3²
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

5. Himpunan penyelesaian dari 2^2x − 7 ∙ 2^x > 8 adalah ….

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R}
D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan

Misalkan p = 2^x sehingga 2^2x = p².

   2^2x − 7 ∙ 2^x > 8
   p² − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

 p < −1    atau    p > 8
2^x < −1    atau   2^x > 8

Penyelesaian 2^x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2^x > 8.

2^x > 8
2^x > 2³
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C