Pilihan ganda dan penyelesaiannya dari persamaan eksponen dan sifat-sifatnya

 Nama: Anggun indah sari darmayanti

Kelas: X mipa 3

Noabsen: 9

Hari/tanggal: rabu 19 agustus 2020

  1.nilai angka  memenuhi persamaan 22log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….

A. 2log 3

B. 3log 2

C. – 1 atau 3

D. 8 atau ½

E. log 2/3

Jawaban : A

Pembahasan : 

2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) =  2log 2 + 2log x

2log.2log (2x+1 + 3) =  2log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )

2log (2x+1 + 3) =  2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen alog b = c ↔ b= ac )

 

2x+1 + 3 =  22x  ( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )

22x – 2x+1 – 3 = 0

(2x)2 – 2x.21 – 3 = 0

(2x)2 – 2.2x – 3 = 0

Misal 2x = q

q2 – 2q – 3 = 0

( q – 3 ) ( q + 1 ) = 0

q – 3 = 0  atau  q + 1 = 0

q = 3 atau  q = –1

substitusikan nilai q pada 2x = q

2x = 3   atau 2x = –1

x = 2log 3 (untuk 2x = –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang dipangkatkan tidak pernah negatif )

2. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

A. x > 6

B. x > 8

C. 4 < x < 6

D. – 8 < x < 6

E. 6 < x < 8

Jawaban :  C

Pembahasan Soal Fungsi Eksponensial : 

log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)

log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)

log ( x2 + 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 )  (gunakan kesamaan pada logaritma)

( x2 + 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )

x2 + 4x – 32 – 2x – 16 < 0

x2 + 2x – 48 < 0

( x + 8 ) ( x – 6 ) < 0                     (daerah Himpunan Penyelesaian ke – 1 )

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 8 ) dan ( x – 6 ), didapat x = –8  dan x = 6

 

Selain daerah penyelesaian diatas sebagai jawaban perlu juga dicek kembali nilai numerus untuk logaritmanya.

Untuk log (x – 4), nilai     x – 4 > 0

x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 2 )

Untuk log (x + 8), nilai     x + 8 > 0

x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 3 )

Untk log (2x + 16), nilai   2x + 16 > 0

 x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 4 )

Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)

Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 + 2x – 48

F(-9) = (-9)2 + 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif )

soal eksponen no 15

 

Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 4 < x < 6

3.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….

A. -5/2 < x ≤ 8

B. -2 ≤ x ≤ 10

C. 0 < x ≤ 10

D. -2 < x < 0

E. -5/2 ≤ x < 0

Jawaban : C

Pembahasan : 

2 log x  log (2x + 5) + 2 log 2

log x2  log (2x + 5) + log 22

log x2  log (2x + 5) ( 4 )             ( gunakan kesamaan pada logaritma )

x2  (2x + 5) ( 4 )

x2  8x + 20

x2 – 8x – 20  0

( x – 10 ) ( x + 2 )  0

Cari harga pembuat nol untuk ( x + 2 ) dan ( x – 10 ), didapat x = –2  dan x = 10

Untuk log x, nilai   x > 0   (daerah Himpunan Penyelesaian ke – 2 )

Untuk log ( 2x + 5 ), nilai  2x + 8 > 0  x > – 5/2  ( daerah Himpunan Penyelesaian ke – 3 )

 

4.Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….

A. { 3 }

B. { 1,3 }

C. { 0,1,3 }

D. { –3, –1,1,3 }

E. { –3, –1,0,1,3 }

Jawaban : B

Pembahasan : 

xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5   ( gunakan kesamaan pada logaritma )

10x3 – 9x = x5

x5 – 10x3 + 9x = 0               ( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x)

x ( x4 – 10x2 + 9 ) = 0                   ( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x ( x2 – 9 ) ( x2 – 1 ) = 0      ( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )

x ( x – 3 ) ( x  + 3 ) ( x – 1 ) ( x  + 1 ) = 0

Cari harga pembuat nol untuk x, ( x – 3 ), ( x  + 3 ), ( x – 1 ) dan ( x  + 1 ).

Didapat    

x = 0

x = 3

x = –3 

x = 1

x = –1

Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )

5. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….

A. 2

B. 3

C. 8

D. 24

E. 27

Jawaban : E

Pembahasan : 

(3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0

Misal 3log x = p

p2 -3p + 2 = 0

( p – 2 ) ( p – 1 ) = 0

p1 = 2 atau p2 = 1

3log x1 =  2            atau     3log x2 = 1

x1 = 9                    atau     x2 = 3

x1 . x2 = 27